Do�ada g�zledi�imiz sistemlerde ortak bir yap�, temel bir benze�im olmakla birlikte bu karma��k yap�y� lineer (�izgisel) ve s�rekli denklemlerle ifade etmek m�mk�n de�ildir. �lk bak��ta �ok karma��k gibi g�r�nen pek �ok do�a olay�nda ortak bir taban�n bulundu�u g�r��� art�k ka��n�lmaz bir ger�ek olarak beliriyor. Bu taban�n ad�na matematik�iler, al���k oldu�umuz 3 boyuttan farkl� olarak, kesirli boyut i�erdi�inden
Fraktal
demi�lerdir.
Fraktal yap�lar�
olu�turan matemati�in k�keninde lineer olmayan bir denklemin
kendi �zerine d�nerek
�iteratif�
tekrar� bulunur. Bu t�r fraktal yap�lara �rnek olarak g�kteki
bulutlar�, a�a�lar�n dal ve yapraklar�n�, akci�erlerin
i�yap�s�n�, parmak izlerini, s�ngerleri hatta deniz k�y�lar�n�
dahi g�sterebiliriz. Hepsi de istatistik olarak kendilerine
benzerler. Fraktal matematik, bilgisayarlar�n ortaya ��k���
ile birlikte bir sanat dal� olarak o kadar ileri gitmi�tir ki
do�adaki olu�umlar� b�y�k bir ger�eklikle
kurgulayabilmektedir.
Henri Poincar� (1854-1912) daha 1890 y�l�nda kendine benzeyen matematik fonksiyonlar� incelemi� ve 1890 y�l�nda �Otomorf fonksiyonlar hakk�nda� ba�l�kl� bir kitap yay�nlam��t�r. Fraktal bir yap�y� matematik bir temelden ba�layarak g�r�nt� halinde d�nyaya sunan ki�i Benoit Mandelbrot (d.1924) olmu�tur. Mandelbrot�un geli�tirmi� oldu�u fraktal matemati�i basit bir denklemden ba�layarak ve s�rekli kendini tekrar ederek gittik�e karma��k hale d�n��en, fakat temel benze�imini koruyan geometrik yap�lar� g�zler �n�ne sermi�tir.
Fraktal matemati�i ile klasik �klid matemati�i aras�nda �u temel farklar vard�r: �klid matemati�inde sonlu �ekiller ve s�rekli fonksiyonlar bulunur. Fraktal matemati�inde ise �ekiller sonlu olmay�p fonksiyonlar s�reksiz ad�mlarla geli�ir. Ayr�ca �klid matemati�i insan yap�s� nesneleri tan�mlamakta ba�ar�l� iken, fraktal matemati�i do�al yap�lar� tan�mlamakta daha ba�ar�l�d�r. �lk yay�nland�klar� 1975 y�l�ndan bu yana matematik fraktallar hem bir sanat kolu hem de yeni bir matematik dal� olu�turmu�lard�r. Matematik fraktallar� inceleyen fizik�i Mitchell Feingenbaum (d. 1944) ise karma�a (kaos) kuram�n�n temellerini atarak fizik bilimine yeni bir ara�t�rma alan� a�m��t�r. Do�adaki karma��k ve kaotik yap�n�n ortaya ��kmas�n� sa�layan,
belli bir noktada ��atalla�ma� diyebilece�imiz
mekanizma ile sistemin yeni dallara b�l�nmesi ve farkl�
y�nlere do�ru geli�imin devam etmesidir. Bu �ekil bir
matematik fonksiyonun geli�imini g�steriyor. Fonksiyon kendi
�zerine d�n���ml�, iteratif bir fonksiyondur. �nce tek bir
de�er olarak geli�en fonksiyon, bir anda iki �atala ayr�l�yor.
�terasyonlar devam ettik�e �atalla�malar hem art�yor hem de
daha s�k aral�klarla olu�maya ba�l�yorlar. Yani b�l�nme ve
farkl�la�ma �nce yava� sonralar� gittik�e daha h�zl� olmaya
ba�l�yor. Fakat temel yap� hep kendine benzeyerek �e�itlilik
olu�turuyor. Bu temel yap�n�n geli�imini zaman i�inde
de�erlendirirsek t�rlerin olu�umunu ve basitten karma���a
do�ru de�i�ik t�rlerin geli�imini kavrayabiliriz. Kavrama s�z�
ile mant�ksal bir a��klamay� de�il, sezgisel bir ayd�nlanmay�
kastediyorum.
�ekil-1�de tek bir
matematik fonksiyonun kendi �zerine s�reksiz ad�mlarla
d�n���m� sonucunda ortaya ��kan karma��k yap� g�r�lmektedir.
G�n�m�zde, bilgisayarlar sayesinde basit diferansiyel
denklemlerle a��klanamayan do�al yap�lar� ve dinamik
olu�umlar� fraktal matemati�i ile a��klayabilen yeni bir
Karma�a bilimi geli�mek �zeredir. �Karma��k yap�lar� deyince sonucu tahmin edilemeyen, lineer denklemlere d�k�lemeyecek kadar girift olaylar ve olu�umlar kastediliyor. Say�lar�n renklere d�n���m� sayesinde �ok karma��k bir geli�im s�recini, b�t�nc�l olarak, tek bir dinamik resim olarak izleyebilmekteyiz. Fraktal geometride incelenen nesnenin veya olay�n boyu �nemli de�ildir. Bu bak�mdan fizik alan�nda, evrendeki makro yap�lardan biyolojinin mikro yap�lar�na kadar, �e�itli alanlarda fraktal geometrisi kullan�m bulacakt�r. Bug�n i�in sanat alan� olarak kabul edilen fraktal geometrisi gelecekte iklim biliminde, biyolojide ve genetikte, t�pta, hatta ekonomide bile uygulama alanlar� bulacakt�r.
Canl� sistemlerin geli�imini inceledi�imizde fraktal yap�lara
benzeyen iki �nemli benzerlik bulmaktay�z. Bunlar:
-
Canl� sistemlerde do�rusal (lineer) olmayan
bir �zellik bulunmaktad�r ve,
-
Canl� sistemler kendilerine benzeyen yap�lar olu�turarak d�n��mektedirler.
Bu iki
�zelli�i farkl� s�zlerle ifade etmek gerekirse �canl� sistemlerde s�reksiz bir
s�reklilik bulunur� veya �do�ada hem s�reklilik hem s�reksizlik
birlikte bulunur� diyebiliriz. Canl� sistemlerin
kendilerine benzeyen yap�lar olu�turmalar� i�in kendi
�zerlerine d�n��en bir �zelli�e sahip olmalar� gerekir.
G�n�m�ze kadar geli�tirilmi� olan do�a bilimi olan fizik
biliminde hep trigonometrik lineer fonksiyonlar
kullan�lm��t�r. Fakat bu fonksiyonlarda belirsizlik
bulunmad���ndan, bu fonksiyonlarla do�an�n karma��k yap�s�
asla a��klanamam��t�r. G�r�yoruz ki kendi �zerine d�n���m
i�eren Fraktal yap�lar sadece statik, dura�an resimler
olarak kar��m�za ��km�yorlar, ayn� zamanda do�ada hareket
halinde olan canl� ve cans�z yap�lar�n da davran��lar�n�
a��kl�yorlar. �rne�in, mercanlar�n ve s�ngerlerin olu�una,
akarsular�n t�rb�lans�na, y�kselen duman�n karma��k
g�r�nt�s�ne, de�i�en iklim �artlar�na dinamik fraktallar
olarak bakabiliriz.
�izgisel bir geli�me g�stermeyen sistemlerde, �ok yak�n
ba�lang�� �artlar� dahi �ok farkl� sonu�lar verebilirler. ��te
Karma�a kuram�nda �Kelebek etkisi�
denen olay budur. E�er geli�im ve etkile�im �izgisel olmay�p
karma��k ise bir kelebe�in kanat ��rp��� kadar ufak bir olay
sonu�lar� tahmin edilemeyecek kadar b�y�k sonu�lara yol
a�abilir. Deprem, ��� ve tsunami gibi do�al afetleri
tetikleyen k���k bir olay olabilir.
Koch fraktal�
�ekil
-2�nin sol �st k��esinde g�r�len e�kenar bir ��genle i�e
ba�layal�m. Her kenar� ��e b�l�p orta k�sma yeni bir e�kenar
��gen ekleyelim. Bu i�lemi s�rd�rd�k�e ��genler k���lecek
�eklin kenar uzunlu�u artacakt�r. Bir kenar�n�n uzunlu�u 1
birim olan bir e�kenar ��gende olu�turulan bu s�reksiz
de�i�iklikler gittik�e bir kar kristaline benzeyecek ve kenar
uzunlu�u 3x(4/3)x(4/3)x(4/3)�� �arp�m� uyar�nca artacakt�r.
Bu �ekli ilk d���nen ki�i �sve�li matematik�i Niels Helge von
Koch (1870-1924) oldu�undan �ekle Koch
e�risi denir. Koch e�risi �ekil -2�nin alt k�sm�nda
g�r�ld��� gibi bir �izgi i�ermesine ra�men s�rekli bir e�ri
de�ildir. S�reksiz ad�mlarla olu�mu� kapal� bir alan i�erse de
iki boyutlu bir d�zlem de�ildir. �u halde ne tek boyutlu bir
�izgi ne de iki boyutlu bir alan olarak d���n�lmelidir. Tek
boyut ile iki boyut aras�nda kesirli bir boyut i�eren bir
fraktaldir.
Do�al
olarak olu�an kar kristallerinin 3 atom (iki hidrojen bir
oksijen atomu olan H2O) i�eren su molek�llerinden ibaret
olduklar� hat�rlan�rsa, kar kristallerini birer Koch fraktali
olarak g�rebiliriz.
Fraktal s�nger
�ekil
-3��n solunda, orta b�lgesinde kare bir delik bulunan bir kare
g�r�l�yor. Bu karenin dolu b�lgelerine bakarsak 8 adet e�it
boyda kare g�r�r�z. �kinci ad�mda bu 8 karenin orta
b�lgelerinde oran� korumak �art�yla daha k���k kare delikler
a�al�m. Ayn� oran� koruyarak s�reksiz ad�mlar� tekrarlarsak
gittik�e k���len ve say�lar� artan deliklerden olu�mu� bir
hal� elde ederiz. Bu hal�y� ilk d���nen matematik�i Waclaw
Sierpinski (1882-1969) oldu�undan delikli y�zeye Sierpinski hal�s� denir.
Resmin
sa��nda g�r�len 3-boyutlu �ekil Sierpinski hal�s�n�n 3-boyutlu
uzant�s�d�r. Bu fraktal k�p, matematik�i Karl Menger
(1902-1985) taraf�ndan d���n�ld���nden �Menger s�ngeri� olarak bilinir. Bu s�ngerin boyutu 2
ile 3 aras�ndad�r. ��nk� hem iki boyutlu bir y�zey gibi
herhangi bir noktas�ndan ba�layarak hi� y�zeyden ayr�lmadan
herhangi bir di�er noktaya ula��labilir, hem de �� boyutlu bir
nesne gibi uzay i�inde yer kaplar. �u halde Menger s�ngeri2
ile 3 boyut aras�nda kesirli boyut
i�eren fraktal bir yap�d�r.
Do�al
s�ngerlerin bu t�r d�zg�n delikleri bulunmasa da, onlar� da
kesirli boyut i�eren fraktal yap�lar olarak d���nebiliriz.
|