|
Do�al
g�r�nt�ler
�imdiye kadar g�rd���m�z �rnekler geometrik �ekilleri
i�erdiklerinden do�al olu�umlara olan benzerlikleri olduk�a
azd�. Bilgisayar teknolojisinin geli�imi sayesinde do�al
olu�umlara �ok daha fazla benzeyen matematik fraktallar
olu�turulmu�tur. �ekil - 4�de fraktal bir �am dal�n� ve �ekil
-5�de fraktal bir da� ile g�l manzaras�n� farkl� a��lardan
g�rmekteyiz.
Lorenz fraktal�
Fraktal matemati�i sayesinde sadece do�adaki statik
g�r�nt�leri de�il, dinamik ve karma��k olaylar� da kurgulamak
m�mk�nd�r. Bir iklim bilimci (meterolog) olan Edward
Lorenz (1917-2008) atmosferde olu�an r�zg�r, f�rt�na, tayfun
gibi dinamik hava ak�mlar�n� kurgulayan bir model
geli�tirmi�ti. Bu modeli bilgisayarda �al��t�r�nca mevsimler
boyunca olu�an farkl� atmosferik olaylar yaz�c�ya say�sal
olarak aktar�lmakta idi. G�n�n birinde Lorenz ba�lang��
zamanlar� sadece birka� dakika farkl� olan iki ��kt�y�
kar��la�t�rmay� d���nd�. Bu iki ��kt�n�n uzun s�reli
sonu�lar�nda pek az fark bulunaca��n� tahmin ediyordu. Oysa
ki, sonu�larda b�y�k farklar ortaya ��kt���n� hayretle g�rd�.
Ayn� durum birbirlerine yak�n se�ilen herhangi iki ba�lang��
zaman�nda tekrarlan�yordu. Ba�lang�� zamanlar�ndaki k���k
farklar s�re uzad�k�a art�yor ve t�m�yle �nceden belirlenmesi
olanaks�z hale d�n���yordu.
Lorenz�in denklemleri kendi �zerlerine d�nerek olu�tuklar�ndan
s�reksiz ad�mlar i�eriyorlar. Ortaya ��kan sonu�lar s�rekli
bir fonksiyon olarak �izildi�inde bir kelebe�in kanatlar�na
benzeyen �ekil -6�daki g�r�nt� ortaya ��kar. Bu �ekil
�Lorenz fraktal��
veya
�Lorenz tuhaf
�ekicisi� olarak me�hur oldu ve
karma�a kuram�n�n ba�lang�c�n� olu�turdu. Kayalardan akan
suyun t�rb�lans�, y�kselen sigara duman�n�n hareketi,
f�rt�nal� r�zg�rlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarlar�n
yuvarlan���, kalbin fibrilasyona girmesi gibi �ok farkl�
olaylar karma�a kuram� ile a��klanabiliyor. Bir a�ac�n yeni
bir budak vererek dal olu�turmas�, hatta kan damarlar�n�n
olu�umu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli
birtak�m de�erler aras�nda kald��� durumlarda
ger�ekle�ebiliyor. Bir co�rafi b�lgede baz� t�r hava
ak�mlar�n�n olu�umu (hortum, tayfun, muson r�zgarlar� gibi)
belirgin bir s�cakl�k aral���na ba�l� oldu�unu ve ayn� olay�n
farkl� s�cakl�k aral�klar�nda neden olu�mad���n� Lorenz
fraktali sayesinde daha iyi anl�yoruz.
Tuhaf �ekici
Lorenz
fraktal�na bakt���m�zda s�z konusu dinamik sistemin iki merkez
etraf�nda doland���n� fakat her y�r�ngenin bir �ncekinden
farkl� oldu�unu g�r�yoruz. Bu t�r �ekici merkezlere anlam
verilemedi�inden, bunlara �tuhaf �ekici� denmi�tir. Olay�
anlayabilmek i�in basit bir denklemden hareket edelim.
Denklemimiz bir x say�s� ile bir sabit k parametresi i�ersin
ve kendi �zerine d�n���ml� olsun. Ayr�ca denklemimizin bir
do�ruyu tan�mlamamas�, yani lineer olmamas� gerekiyor. Basit
bir �rnek:
Xn+1
= k.Xn � k.(Xn)2
Denkleminde n+1 inci ad�mdaki say�y� hesaplamak i�in n�inci
ad�mdaki say�dan yararlan�l�r. Bu bak�mdan s�reksiz
iterasyonlar yapmak gerekecektir. �rne�in, �ekil -7�nin sol
taraf�nda g�r�len grafikte k = 2.6 ve X1 = 0.31
se�ildi�inde X = 0.61534 de�eri tek bir tuhaf �ekiciyi
olu�turur. Bu de�ere ula�mak i�in 15 iterasyon yeterlidir.
�eklin ortas�ndaki grafikte iki adet tuhaf �ekici k = 3 ve X1
= 0.32 de�erleri ile olu�uyor. Bu iki tuhaf �ekicinin
de�erleri X1 = 0.653 ve X2 = 0.680
de�erleri aras�nda gidip gelir. En sa� grafikte ise k = 3.7 ve
X1 = 0.72 de�erleri se�ildi�inde X de�erleri
t�m�yle karma��k (kaotik) bir davran�� i�ine girer.
Farkl� k
de�erleri �ok farkl� sonu�lara yol a�maktad�r. k = 2.6 i�in
sistem denge durumuna ula��rken, k = 3 i�in sistem s�rekli
sal�n�m yap�yor ve k = 3.7 de�erinde karma��k bir davran��
i�ine giriyor. Her �� davran�� t�r�n� sergileyen bir�ok sistem
bulunmaktad�r. Hepimizin bildi�i en basit �rnek damlayan bir
musluktur. Musluktan damlayan iki damla aras�nda ge�en zaman
s�resi sabit olabilece�i gibi de�i�ken de olabilir. Bu
de�i�kenli�i olu�turan �ok k���k d�� etkilerdir. �rne�in, su
borusundaki bir titreyi� veya hafif bir hava ak�m� karma��k
davran��a neden olabilir. B�yle bir deney yap�lm�� ve
Scientific American dergisinin Aral�k 1986 say�s�nda
yay�nlanm��t�r. �ekil -8in solunda ve ortas�nda musluktan
belli bir d�zen i�inde damlayan damlalar g�r�l�yor. Bu
damlalar� bir mikrofon �zerine d���rterek ��kan ses kay�t
edilmi�tir. Belli bir anda damlalar �ekil - 8�in sa� taraf�nda
g�r�ld��� gibi iki damlan�n aras�nda ge�en s�re karma��k bir
d�zen olu�turur.
Bu basit
�rnekten anl�yoruz ki, mikroskopik etkiler makroskopik
sonu�lara yol a�abilirler. Ancak, aradaki ili�ki
belirlenebilen t�rden, do�rusal (lineer) bir sebep-sonu�
ili�kisi i�inde olu�maz. Bu bak�mdan gelece�i kesinlikle
tahmin etmek m�mk�n de�ildir. Bu ifadede �kesinlikle� s�z�n�n
alt� �zel olarak �izilmi�tir. ��nk� karma�a kuram�nda beliren
makro d�zensizli�in kayna�� mikro d�zeydeki, tahmini m�mk�n
olmayan minik boyutlu karma��k d�zensizliklerdir.
Kesirli Fraktal Boyut
Kesirli
boyutun ne �ekilde ortaya ��kt���n� bu b�l�mde aktarmak
istiyorum. Kesirli boyut sadece fraktal yap�lara ait bir
�zelliktir. Kendine benzeyerek geli�en ve de�i�en t�m
yap�larda bu �zellik bulunur. �rnek olarak alttaki �ekil � 9�a
bakal�m.
K�rm�z�
d�z �izgiyi kendine benzeyen e�it par�alara b�lelim. Bu
say� N olsun. G�r�ld��� gibi 2ye b�ld���m�zde N = 2 ve 3e
b�ld���m�zde N = 3 oluyor. L ise bir kenar�n k���lme oran�
olsun. �lk iterasyonda kenar �nce ikiye sonra da ��e
b�l�n�yor. �u halde N = LD veya her iki
taraf�n logaritmas�n� al�rsak log(N) = D log(L) olur. Yani:
D = log(N) / log(L)
Altta
g�r�len Sierpinski ��genine (�ekil � 10) bu form�l�
uygulayal�m.
�lk
iterasyonda ortadan bir ��gen ��kar�l�nca geriye 3 tane e�it
k���k ��gen ve bir kenar da 2 par�aya b�l�nm�� oluyor. �lk
iterasyon i�in N = 3 ve L = 2 ve bir sonraki iterasyonda N = 9
ve L = 4 olur. �u halde,
D =
log(3)/ log(2) = 0.47712 / 0.30103 = 1.58496 elde ederiz.
Keza.
D =
log(9)/ log(4) = 0.95424 / 0.60206 = 1.58496 olur.
T�m
daha y�ksek iterasyonlar da ayn� de�eri verir. �u halde
Sierpinski ��geni sonu�ta (sonsuz say�da iterasyon
yap�ld���nda) ne bir y�zey ne de bir �izgi olarak
tan�mlanabilir. Zira boyutu 1 ile 2 aras�nda bir de�ere
sahiptir. T�m fraktal yap�lar da benzer �ekilde kesirli boyut
sahibidirler.
|