|
Alt�n Oran
T�m
insanlarca estetik oldu�u kabul g�rm�� olan bir say�dan s�z
etmek isterim. Bu say� �Alt�n
Oran� olarak bilinen T =
1.618034...�eklinde s�r�p giden irrasyonel say�d�r. Bu say�
sadece matematik bir ilgi oda�� olmay�p fizik ve dolay�s�yla
do�a ile de yak�ndan ilgilidir. Alt�n oran �ok eski
d�nemlerden beri bilinmektedir. Kadim M�s�r k�lt�r� ehramlar�n
yap�s�nda bu oran� kullanm��, kadim Yunan filozof ve
matematikle ilgilenen d���n�rler de Alt�n Oran� onlardan
��renmi�tir. Alt�n oran
mant��� �udur:
Bir do�ru par�as�n�
�yle bir noktas�ndan b�l�n ki t�m uzunlu�unun uzun par�aya
oran�, uzun par�an�n k�sa par�aya oran�na e�it olsun.Yani,
A
B
l-----------------l-------------l �eklinde bir do�ru
par�as�nda (A + B)/A = A/B olsun.
Kolayl�k olsun diye A = x
ve B = 1 se�elim. Bu durumda x2 = x + 1 olur.
Bu denklemi x2 -
x � 1 = 0 �eklinde yaz�p k�klerini ararsak x(1) =
1.6180339887...ve
x(2) = -
0.6180339887...buluruz. Bu iki k�kten pozitif olan x(1)�e
b�y�k T ad�n� verelim.
T irrasyonel
bir say�d�r. Yani iki tam say�n�n oran� olarak g�sterilemez.
Fakat iki tam say�n�n oran� kendi �st�ne d�n���ml� bir kural
dahilinde T say�s�na yakla��r. Bu kural� Fibonacci dizisinden
��kar�r�z. As�l ad� Leonardo Pissano olan Fibonacci
(1170-1250) �talyada do�mu� fakat M�s�rda b�y�m��t�r.
Matematik meraki da o d�nemde �ok ileri d�zeye ula�m�� �slam
matemati�inden kaynaklanm��t�r.
Fibonacci 1,1
�iftinden ba�layarak son iki say�n�n toplam�ndan yeni bir say�
�retmi� ve bu kendi �st�ne d�n���ml� kural� tekrarlayarak �u
diziyi elde etmi�tir:
1,1,2,
3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,.............
Bu dizide ard-arda olan
iki say�dan b�y���n� k�����ne b�lerseniz g�r�rs�n�z ki T
say�s�na do�ru yak�nsar. �rne�in, 233/144 = 1.618055 iken
6765/4181 = 1.618033 olup gittik�e T say�s�na do�ru
yakla�t���m�z� g�r�r�z. Fibonacci say�lar�na F(n) dersek
herhangi pe�-pe�e bir �ift i�in F(n)/F(n-1) => T say�s�na
do�ru yak�nsar fakat asla e�it olmaz. Bu durumun bir�ok
ilgin� a��l�m� vard�r:
1-
�ki Fibonacci say�s�n�n pe�-pe�e oran� kendi �st�ne
d�n���ml� bir kural i�erir. Bu bak�mdan T say�s� sonlu bir
say� olmay�p sonsuza kadar kesirleri s�rer gider. Bu
�irrasyonel� olma �zelli�i t�m do�a sabitlerinin ortak
�zelli�idir.
2-
T say�s� �kuadratik� (kareli terim i�eren) bir
denklemin k�k�d�r. Kareli terim ise kendi �st�ne d�n���ml�
oldu�unda Kaos (karma�a) yarat�r. Do�ada bir�ok olu�um karma�a
i�erir.
Alt�n Oran� iki
boyutlu bir dikd�rtgene uygulayal�m. �yle bir dikd�rtgen
bulal�m ki uzun kenar� ile k�sa kenar�n�n toplam�n�n uzun
kenara oran�, uzun kenar�n k�sa kenara oran�na e�it olsun.
Gene oran�n 1.6180339887... oldu�unu g�r�r�z. E�er bu oran�
tekrarlarsak �ekildeki gibi bir noktaya do�ru yak�nsad���n�
g�r�r�z. ABEF noktalar�ndan ge�en kare CFGK noktalar�ndan
ge�en kareye g�re kenar� T kadar daha b�y�kt�r. Ayn� oran�
defalarca k���lterek tekrarlarsak �ekil �ok k���k bir kareye
do�ru yak�nsar. BD ve CE k��egenlerinin kesim noktas� �eklin
odak noktas�d�r. �ki k��egenin oran� ise gene T say�s�d�r.
Do�ada bu t�r spiral
i�eren bir�ok olu�um bulunmaktad�r. Hepsi de Alt�n Oran�
i�erirler.
�stte
Nautil�s ad� verilen bir deniz kabuklusu ve yan�nda deniz
y�ld�z�. Altta solda ise Alt�n Oran i�eren bir fosil ve sa�da
bir �i�ek.
Do�ada estetik duygusu uyand�ran di�er sabitler л ve e
say�lar�d�r. Bunlar da birer irrasyonel say�d�r. Pi say�s� bir
dairenin �evresinin �ap�na b�l�m�d�r. Altta �ap� 1 olan bir
dairenin �evre uzunlu�u g�r�l�yor. Fakat asla bu oran kesin
olarak bilinemez. ��nk� do�ada indeterminizm, yani belirsizlik
vard�r.
�stte g�r�len do�a
sabitlerinin her bir karma�a i�eren irrasyonel say�lard�r. C
���k h�z�, e say�s� ve h Planck sabiti birer do�a sabiti
olarak kabul edilirler.
Bu
noktada M.�. 540-480 y�llar� aras�nda ya�am�� olan Efesli
Heraklitos�un s�z�n� hat�rlayal�m. Heraklitos : �Bir �eyden
b�t�n �eyler ve bir�ok �eyin k�keninde duran tek �ey�
derken do�ada g�r�len karma�an�n alt�nda bir teklik bulunur ki
bu her var olan�n kayna�� olan yarat�c� cevherdir. Muhiddin
�bn�l Arabi�nin �Vahdet-i-V�cud� felsefesini hat�rlatmak
isterim. Esas�nda tek bir yarat�c� vard�r ve t�m yarat�klar
O�nun bir g�r�nt�s�nden ba�ka bir �ey de�ildir. |